夏休み(2021)29日目

9/4(土)　晴れ

10時位に起きた。午前中はリングフィットをやる気にならなかったからやらずに昨日からわからない完備性について考えた。

午後まで考えていたけどやっぱりわからない。閉であることを言えればいいんだけど、開だから閉という手法が使えない。というのも閉であることを示したい集合が一般に開とは限らない集合に含まれているため、今の状況だけでその集合が開であることを示すことは無理そう。それで結局直接閉であることを示すんだけど補集合が開であることを示すのがまずうまくいかなくてその後点列の収束性でやろうとした。だけど結局剰余を取った側でのコーシー列をもとに戻してきてコーシー列になるかどうかわからない。それって結局直接完備性を示してるのと変わらないし。

完備性が必要となっている補題を先に見ようと思って一回飛ばしてその補題の証明まで行った。だけどちゃんと完備性を使って元を取っていてどうしようも無くなってしまった。元とされている論文の場所にも自明みたいに書いてあるしわからん。一昨年くらいに出版されているからどうしても文献が少ない。どっかしらに英語でもなんでもいいから質問を書けば答えが帰ってくる予感はしているけど少し待つ。他のところで聞く機会があると思うし。

一回apexをやってからまた続きを進めた。今度は一つ大きい定理を使って、Fontaineの定義におけるperfectoid fieldが元のSholzeのperfectoid fieldの定義と一致していることを示した。結局使ったのはperfectoid fieldは階数1の付値による位相を持つことだった。その証明にはSholzeの定義の方を採用していると思っていたけどそうじゃなくて安心した。まずこの定理だけで論文が一本あるので流石に一度認めた。付値が離散的ではないということが示せずずっと考えていたら3時になっていた。一度お風呂に入って頭をリセットしてからまた考えていたけどperfectoidであるということからl乗根の列が取れてそれを考えれば離散的ではないことが分かった。というか付値が離散的というのの定義があやふやで危なかった。付値というか多分ノルムなんだけどそこらへんもう完全に同一視して言葉が扱われている。階数1の付値と言ったら乗法的であるとしている一方で普通に付値というときは乗法性を課してなさそう。不等号くらい。離散的であることを整数になるくらいの気持ちで居たけどそうじゃなくて無限巡回群とかで考えたほうが良かった。離散的ではないのは稠密部分集合に対応する。

逆はわりとすぐに示せたけど多分今参考にしているPDFの不等号が一箇所間違っていた。多分。いや正で割ってるのに不等号が逆になってるから間違っているのは確か。あとはちょっと例に触れたけど明日集中してやることにした。まあネーター性は無いよねという感じになってきた。記号が長そう。

明日はまた続きをやることにする。一段落するところまで行ってからさっき書いたところの論文は見ることにする。だいたいいつも同じ人達のここ数年の論文が多いのにとてつもない速度で進歩しているっぽくてびっくり。一つ日本人の博士論文でもそういうことをやっているひとがいた。リジッド幾何と対応させているらしくてすごそう。流石にまだ読めないけどいくらか条件を緩めて考察しているらしく適宜参考にしたい。最近夜ふかししがちなので今日はもう寝る。