夏休み3日目
8/9(日) 快晴
起きたら11時だった。午前中に目が覚めただけマシだと思う。外出たら晴れすぎてて目が痛くなった。昔はそんなことなかったからパソコンの画面の見過ぎかもしれない。暑そう。youtube見てたら午前中が終わった。おしまい。ゼミに赴く。
ゼミが終わって夜ご飯を食べた。ゼミはハーツホーンの演習問題を解くやつ。内容も面白いし雑談も面白いので毎週の楽しみになっている。解いてもらった演習問題を振り返ろうかと思ったけど記号書くのが難しそうで諦めたので昨日と変わらず自分が読んでいる本で示したものをまた書こうかと思う。これからも一日youtubeと数学で過ぎていきそう。日記を書くという人をツイッターで何人か見て嬉しかった。日記を書こうとしてるせいで逆にツイートをしないようになった気がする。日記の通知ようになってしまいそうだったから何かしらツイートをしようと思う。思いつかなかったからそのまま書いた。
主張
locally finite type over kなscheme Xとkの代数閉包Kをとる。Xの元xについて以下は同値。
(i)Xはxにおいて相対次元dでsmooth。
(ii)xに移されるX_Kの任意の元x'についてX_Kはx'において相対次元dでsmooth。
(iii)xに移されるX_Kの任意の元x'についてx'での局所環の完備化はK[ [T_1 , ... , T_d] ]と同型。
(iv)xに移されるX_Kの任意の元x'についてx'の局所環は次元dでregular。
(v)dim_{k(x)} T_x(X/k) = dim O_{X,x} = d
上の条件が満たされる場合以下が成り立つ。
(vi)xの局所環は次元dでregular。
また、k(x) = kのとき(vi)と上はすべて同値。
証明は今まで示したことを使えば出来た。代数閉包を考えるのはx'がK-valued pointになるため。(vi)から上が導かれることを示すときに(v)を経由できそうだったけど本ではそうしてなかった理由がよくわかってない。relative tangent spaceの扱いがまだ不慣れなのが原因そう。次の命題が良かったけど微妙によく分かってない気がする。わかってないばっかじゃん。どうでもいいけどKT_1 , ... , T_dには本当は二重鉤括弧をつけてるんだけど何故か消えるから間にスペースを入れないとダメそう。
主張
既約なlocally finite type over kなscheme Xとk-valued point xについて以下は同値。dim T_x X = dim X = dであることとXがxにおいて相対次元dでsmooth。
上の主張の(v)と(i)の同値が使えるのかわからない。k(x) = kであることから(vi)と(i)の同値を使えばいい。
smoothかどうかを判断するのが難しいからこれがあるととてもいい気がする。
明日はバイトがある。それ以外になにもない。また数学をやる。午前中だけゲームをやるという面目でゲームを買ってみようかとおもって早３日経った。このまま30日経ちそう。午前中だけしか出来なければ早起きになるのかもしれないという魂胆があるけどそれ以上に午後もゲームをやりそうな自分が見えるのでなかなか手が出ない。小説を読んでも良いかもしれない。積ん読が数十冊単位で存在している。昨日試しにgoogle analyticsとかいうのを入れてみたけどどこで何を見れば良いのかわからないまま終わってしまったのでまたちょっといじってみても良いかもしれない。こういう設定をしていくのは嫌いじゃない。なんだったら設定するのが一番面白いまである。プログラミングに熱中できなかったのはこれが原因かもしれない。目次とか脚注とか引用とか入れられるのを知った。目次が出来るほど長くないし脚注つけるほどしっかり書いてないから使わなそう。主張を書くときに引用をしておいたほうのがいいのかわからん。今日は公開までが遅かった。進捗がしっかり生まれるまで更新したくないとかいう気持ちに今後なっていったらつらそう。たまには3行だけの日記を朝一で上げるのも面白そう。書くことを頭で考え始めたので今日はここでおしまい。
