夏休み10日目 - 夏休みの日記

8/16(日)　晴れ

午前起床成功。今日は午後に髪を切りに行く。

切ってきた。夏場はいつも以上に暑くなるから今のうちに切れてよかった。3ヶ月ぶりだったらしくだいたいこれくらいだと思っていたらどうも周期としては長いらしい。ずっと同じところで切っている。

少し十三機兵防衛圏のクリア後を遊んだ。クリアしてストーリーがなくなると途端にやる気が無くなってしまうのでどこまで遊ぶかは未知数。昨日の日記は短かったから今日は数学のことを書いてかさ増しでもしようかと思う。Chapter6を終わらせられれば大成功。

やっぱりわからないので試しにわからないところを書いてみる。示したいことは次のこと。

主張

階数3以上の二次曲面はnormal(かつnon-regular。)(non-regularは文脈で自分が付け足しただけだから本当にそうなのか分かっていない。)

これを示そうとしていたらnormalではなくなってしまった。何をやってそうなったのかを書いてみる。

証明(だと思っているもの)

簡単のため $Z = V_+(X_0^2 + X_1^2 + X_2^2) \subset \mathbb{P}^2_k$ で考える。当然kは代数閉体。Zの点として $z \in \mathrm{Spec} (k [ T_1 , T_2 ] / (1 + T_1^2 + T_2^2))$ をとる。このときとくにこの環をAとするとAは整域で $\dim A = 1$ である。z=0なら $A_z$ は体だからregularになる。zがAの0ではない素イデアルのときそれはA内の極大イデアルであるからそのA内での高さは1になる。だからAがnormalであることとregular in codimension 1が同値であることからAがnormalであることとAがregularになることが同値になっている。この時点でnormalかつnon-regularになってくれない。

しかもAの0じゃない素イデアルzを取ったときそれが $A_z$ で単項生成になっていないからA_zがregularではなくなる。よって $\dim A_z = 1$ なのにregularではないからnormalでもなくなってしまってAはnormalではなくなる。これからZがnormalではなくなってしまってわけがわからない。3点を除いたすべての点でnormalではないとかいう異常なschemeになっているとは思えないし誤植のところにも何も書いていなかった。

寝て起きたらなんか解消されていると信じたい。もしこれを見た人がいてどこが間違っているかわかったら教えてほしい。

ここらへんは可換環で認めていることが多くてちょっとしんどかった。smoothならまだしもregularとnormalはまだ全然分かっていない。

せっかくなのでブログ中にTeXが使えるようにしてみた。と思ったらいまははてなブログはデフォルトでTeX記法が使えた。上のやつを直した。一文字だけとかをやると重くなりそうなのと単純にめんどくさそうだったから一文字以外のところを直した。長めの数式にはこれを使っていきたい。

代数的な整閉性が幾何学的な性質になっているのが面白い。明日からバイトとか始まるし今週ほど気楽には過ごせなさそうだけどしょうがない。今日はおしまい。