夏休み12日目 - 夏休みの日記

8/18(火)　晴れ

今日は一日なにもない日。朝から昨日の夜ちょっとやったときメモ4を進めた。

見事撃沈した。友情エンド的なのを迎えて多分これは比較的良くないエンディング。しょうがないので3周目をやろうかと思ったけどその前に昨日書いていた日記をもとに考えていたことの整理をしておく。

わからなかった原因はやはりregular性をうまく計算できてないからだった。 $Z = V_+(X_0^2 + X_1^2 + X_2^2) \subset \mathbb{P}^3_k$ における $z = (0:0:0:1)$ がsmoothではないこととこれはk-valued pointであることを使えばここでregularにならないことがわかるからまずこの二次曲面はregularではない。一方、高さ1になるような素イデアルでの局所化を考えると次元定理とか使って極大イデアルが単行生成になってregularになることがわかるからregular of codimension 1になってnormalになる。よってこの二次曲面はnormalかつnon-regularな例になっていることがわかる。

余接空間を直接計算するのがしんどすぎたからtangent spaceが明示的に書けることを使ったら意外とすぐ上手く行った。今までのことからregularかつnon-smoothな例とnormalかつnon-regularな例を手に入れることができた。前者は $\mathrm{Spec}(\mathbb{F}_p(T))$ で後者は $V_+(X_0^2 + X_1^2 + X_2^2) \subset \mathbb{P}^3_k$ のこと。

これでやっと次に気兼ねなくすすめる。注意でbase changeをしてもnormal性が遺伝されるとは限らないとのこと。逆にbase chanageした先でnormalならばその前の状態でもnormalである。これはまた局所環の間の射がflatかつlocalであることから可換環論の結果を使ってうまく言っている。その後はちょっと読んでいたけどHartogの定理とか言う複素関数論の定理のschemeバージョンらしい。複素関数の正則性くらいの条件がschemeだとnormalくらいでなんとかなるの結構すごい。地の文にもこれが代数的なnormal性が幾何学的な性質を持っていることの一例であると書いてある。まずHartogの定理を書く。どうもwikipediaに載っているものと全く一緒というわけではなさそうだけどとりあえず本文に載っているものを書く。

Hartogの定理

次元が1より大きい複素空間 $\mathbb{C}^n$ に対して開集合 $U$ と点 $x \in U$ についてその点を除いたところで正則な複素数値関数 $f$ は $U$ 全体に拡張される。

普通に実数空間ではありえない。さすが複素関数論と言った感じ。wikipediaには次元1とそれより大きい次元の間の違いを示しているとも書かれている。まあ例えば $f = 1/z$ とかが反例。schemeバージョンは次の通り。

主張

Xをlocally noetherian normal schemeとしてその開集合Uで $\mathrm{codim}_X(X \setminus U) \geq 2$ となるようなものをとる。このとき $\Gamma(X , O_X) \rightarrow \Gamma(U , O_X)$ が全単射になる。すなわちU上の関数がXに一意に拡張される。

これを見るに複素関数論バージョンでも一点よりもっと除いてもいいんだろうなという気持ちが出てくる。余次元が2以上であるというところがうまく効いてくるのであろう。補集合が余次元が2以上となるような開集合ということはその補集合は十分Xにおいて小さいということなのでつまりはUがXにおいて十分大きいということだろう。例えばUを空集合として取ってしまえばもう反例になる。 $\mathrm{codim}_X(X \setminus U)$ の定義は $\inf_{x \in X \setminus U} \dim O_{X,x}$ だからそれが2以上ということはUに入っていない点における局所環の次元が2以上になるということだからそれとnormalとregular of codimension 1の同値性が効いてくるのかもしれない。多分効いてこない。だって設定違うし。この同値性は剰余環のスペクトラムにしか使えてないから。でもまあU以外で局所環の次元が大きいというのは結構大事なことだろう。残念ながら今はlocally finite typeではないから局所環の次元を局所次元とは言えない。今気づいたけど層 $O_X$ の記号が違った。多分 $\mathscr{O}_X$ にすればいいかも。正解。書き換えるのも面倒だしこのためにいちいちmathscrを入れるのもめんどくさい。

$\mathrm{codim}_X(X \setminus U) = \inf_Z \mathrm{codim}_X Z$ から余次元1の既約成分とUが交わることを使う。ただしこのZは $X \setminus U$ の既約成分。

これをあとは整理するだけだし新しいことがなさそうだからもう公開しようかと思う。また誤字脱字を見つけてもらおう。ときメモ4の3周目はやる気が起きたらやることにした。読みかけの推理小説を読むほうが優先されそう。こんなところで今日はおしまい。