夏休み17日目 - 夏休みの日記

8/23(日)　曇りまたは雨のち晴れ

朝から涼しい。寝苦しさで起きたのではなく寒さのための腹痛で目が覚めた。健全な寝起きを保証してほしい。なんか通知が来てると思ったらtkmrさんがスターとやらを連打していたらしい。酔っ払っていたに一票。このスターとかいうやつ自分で他のブログに押す方法がわからない。その欄が見つからないのが原因なんだけど設定で消せるのかもしれない。今の所実害を被っていないので消す気はない。

どうも世間(というか中学校高校と理科大)は今日で夏休みが終わるらしい。もう終わっているところもあるのだとか。とするとこの夏休みの日記の日数が増えていくにつれてそういう人たちに刺される可能性が高くなってしまうのかもしれない。まあうちの大学も夏休みに授業がある人も居て結果的に全員が休みではないということなのでまあ許されるだろう。授業といえば3Qの集中講義にちょっと興味を持って調べていたことをちょうど専門にしている人が来るらしいのでなんとかして潜りたい。zoomだとこれが面倒なのが厳しい。日程とかの詳細が出次第直接メールを送ろうかと思う。今日はゼミなのでそれまで昨日のやつの続きを進める。Abel圏であることは分かったのでその後の加群の層の共通部分とか和とかだったはず。

ゼミをやった。結果的に8時くらいまでやっていた。演習ですごい写像がでてきて楽しかったしそのあと相談したら悩んでた完全列のやつが解けたのでとても充実していた。せっかくなので構成だけ書く。

設定

$0 \rightarrow \mathscr{F}' \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{F}''$ が完全なので任意の開集合 $U$ で $0 \rightarrow \mathscr{F}'(U) \rightarrow \mathscr{F}(U) \rightarrow \mathscr{F}''(U)$ が $\Gamma (U , \mathscr{O}_X)$ -加群として完全。順番に $w' : \mathscr{F}' \rightarrow \mathscr{F}$ と $w'' : \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{F}''$ とおく。このとき合成によって誘導される写像を考えてそれを

$\displaystyle{w'_* : \mathrm{Hom}_{\mathscr{O}_X} (\mathscr{G} , \mathscr{F}'_{\mid U}) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathscr{O}_X} (\mathscr{G} , \mathscr{F}_{\mid U})}$ ,

$\displaystyle{w''_* : \mathrm{Hom}_{\mathscr{O}_X} (\mathscr{G} , \mathscr{F}_{\mid U}) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathscr{O}_X} (\mathscr{G} , \mathscr{F}''_{\mid U})}$

とおく。このとき $\mathrm{Ker}(w''_*) \subset \mathrm{Im}(w'_*)$ を示す。まず $w \in \mathrm{Ker}(w''_*)$ を取る。このとき $w'' \circ w = 0$ から $w$ の像は $\mathrm{Ker}(w'') = \mathrm{Im}(w')$ に入っている。しかも $w'_*$ は単射であることが分かっている。次のように $v_U : \mathscr{G}(U) \rightarrow \mathscr{F}'(U)$ をつくる。 $s \in \mathscr{G}(U)$ に対して $w(s) \in \mathrm{Ker}(w'' \mid_U) = \mathrm{Im}(w' \mid_U)$ からある $t \in \mathscr{F}'(U)$ で $w' \mid_U (t) = w \mid_U (s)$ となるものが取れる。 $v_U(s) = t$ と定める。 $w' \mid_U$ が単射よりこの $t$ は唯一つ定まる。またこれは $w'$ で移して考えれば制限写像と可換であることがわかるので $v : \mathscr{G} \rightarrow \mathscr{F}'$ が取れる。

$\mathscr{F}' \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{F}'' \rightarrow 0$ に対しては全射から切断が局所的に全射である。また $w'$ を合成をする写像

$\displaystyle{w'_+ : \mathrm{Hom}_{\mathscr{O}_X} (\mathscr{F}_{\mid U} , \mathscr{G}) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathscr{O}_X} (\mathscr{F}'_{\mid U} , \mathscr{G}) }$

に対して $\displaystyle{w \in \mathrm{Ker}(w'_+) \subset \mathrm{Hom}_{\mathscr{O}_X} (\mathscr{F}_{\mid U} , \mathscr{G})}$ をとると、 $w \circ w' = 0$ となることから $\mathrm{Ker}(w'') = \mathrm{Im}(w') \subset \mathrm{Ker}(w)$ である。これから写像になることも制限写像と可換であることもわかる。

コマンドの使いすぎで読み込みが微妙になった。改行が変なところで行われている。やはりこういうところで書くことではなかったのかもしれない。次は層のテンソル積。普遍性が加群と同じように出来るというふうに書いてあったけど茎で考えれば良いのかわからない。切断でもまあ層化するまえを考えれば一意性からうまくいきそう。ひとまず考えていたことが解決されたので今日の日記はここまで。

追記

コマンドの方法とか別行立て数式の方法があるということを教えてもらったのでそれで一部練習がてら書き直した。ちょっと手間だったけど見やすくはなったから長い式とかのときは使うかもしれない。