夏休み42日目 - 夏休みの日記

9/17(木)　曇り

書く時間がだんだん遅くなっている。いま23:30だし流石に明日は午前中に書き始めたい。今日は10時頃起きてその後残りの証明をした。証明した事柄は次の通り。

主張

$S$ をschemeとし、finite typeな $\mathscr{O}_S$ -module $\mathscr{U}$ とfinite locally freeな $\mathscr{O}_S$ -module $\mathscr{E}$ とその間の準同型 $\iota : \mathscr{U} \rightarrow \mathscr{E}$ について次は同値。

(i) 任意のaffine open subset $U \subset S$ についてある $\pi_{\mid U} : \mathscr{E}_{\mid U} \rightarrow \mathscr{U}_{\mid U}$ が存在して $\pi \circ \iota_{\mid U} = \mathrm{id}_{\mathscr{U}_{\mid U}}$ となる。

(ii) $\iota$ は単射であり $\mathscr{E}/ \iota(\mathscr{U})$ はlocally freeである。

(iii) 任意の $s \in S$ について $\iota_s \otimes \mathrm{id}_{\kappa (s)} : \mathscr{U}(s) \rightarrow \mathscr{E}(s)$ は単射。

(iv) 任意のscheme $T$ と $f : T \rightarrow S$ について $f^*(\iota) : f^*(\mathscr{U}) \rightarrow f^*(\mathscr{E})$ は単射。

(v) $\iota$ の双対が全射。

(ii)⇒(i)⇒(iv)⇒(iii)は $\mathscr{U}$ がfinite typeじゃなくてよくて $\mathscr{E}$ はquasi-coherentで十分。単射性とかについて同値を与えてくれる命題っぽい。その後の系をこれから示す。

バイトに行って帰ってきてからゲーム実況を見ている。これは指示厨というかナレーションでは。明日もし行く気になったらヨドバシにでも行ってヘッドホンを試聴しにいきたい。まあ行く気がなくなって行かない未来が見えてるけど。明後日に前に言っていた数理科学10月号が出るからそのときでもいいかもしれない。先に予約注文して店舗においておいてもらうんだった。時間も時間だし今日はここまで。