夏休み43日目 - 夏休みの日記

9/18(金)　晴れ

10時ごろに起きた。最近涼しいから脳死で曇りってやってたけど普通に気温が低くなっただけで晴れていたらしい。なので今日は晴れ。

料理配信を見た。チャーハン美味しそう。自炊できる人いいですね。午後はヨドバシに行くか数学をやる。大学キャラ診断とかいうのをやったら東北大学だった。東工大のキャラを見たらやっぱり素数が好きということになってた。実際素数が好きな人がそこまでいないのが一周回って面白いし何だったら素イデアルのほうが好き。色々大学のキャラがいて面白かった。

とりあえずGrassmannianの定義ができるようになった。包含写像がしっかり行った先でも単射になっていることを保証するために昨日の命題を使った。(iv)と(ii)の同値が大事。定義は以下の通り。 $S$ をschemeとするとき、

$\mathrm{Grass}_{d,n}(S) := \{ \mathscr{U} \subset \mathscr{O}^n_S \mid \mathscr{O}^n_S / \mathscr{U} は階数 n-dの \textrm{locally free} \mathscr{O}_S \textrm{-module} \}$

と定義する。準同型はinverse imageを取る。まずこれはZariski sheafであることは層の張り合わせが上手いこと行くのでわかるからあの証明が大変だったやつを適用するためにopen coveringをとる。そうするとこれが表現可能なことがわかる。先を見てみるとどうもaffine spaceの貼り合わせで表現できるらしい。楽しみ。

小説版めだかボックスを読んでいたら時間が飛んでいた。漫画も読みたくなってしまったけど時間がもっと溶けることがネックでまだ読み始めていない。なんか数分後には読み始めそうだけど。結局今日はヨドバシに行かなかった。数理科学もまだ発売されてないし発売されてからでいいかというのと結局行っても交通費だけで何も買わないから意味ないかなと思っていたらいつのまにか一日が終わっていた。数学がいつもよりすすんだからというのもあるけど。 $I \subset \{ 1 , \ldots , n \}$ について次のような関手を取る。

$\mathrm{Grass}^I_{d,n} (S) := \{ \mathscr{U} \subset \mathscr{O}^n_S \mid \mathscr{O}^I_S \rightarrow \mathscr{O}^n_S \rightarrow \mathscr{O}^n_S / \mathscr{U} が同型になる \}$

これによって包含写像 $\iota^I : \mathrm{Grass}^I_{d,n} \rightarrow \mathrm{Grass}_{d,n}$ が表現可能かつopen immersionになる。かつ $\mathrm{Grass}^I_{d,n}$ は $\mathbb{A}^{d(n-d)}$ と同型になるからとくに表現可能。証明で米田の補題で移したやつとの整合性がうまく考えられなかったのでとりあえずここまで。