夏休み47日目

9/22(火)　晴れ

12時にまた起きた。また数学をやる。ここらへん行間が多くて数行進むたびに奈落に落ちてしまう。今日定義したのはquasi-coherent \mathscr{O}_S -module \mathscr{E} までGrassmannianを拡張したやつ。すなわち0以上の整数 e と S -scheme h : T \rightarrow S について

\mathrm{Grass}^e(\mathscr{E}) (T) := \{ \mathscr{U} \subset h^* \mathscr{E} \mid h^* \mathscr{E} / \mathscr{U} \textrm{はlocally free of rank} e \}

と射 f : T' \rightarrow T について \mathrm{Grass}^e(f)(\mathscr{U}) := f^* \mathscr{U} と定める。これが \mathrm{Grass}_{d,n} の一般化になっている。実際、 S = \mathrm{Spec}(Z) とし \mathscr{E} = \mathscr{O}^n_S とすれば \mathrm{Grass}_{d,n} = \mathrm{Grass}(\mathscr{E})^{n-d} になる。 S を任意のschemeとしたときはschemeの圏上から S -schemeの圏上への制限みたいに考えて \mathrm{Grass}^{n-d}(\mathscr{O}^n_S) = \mathrm{Grass}_{d,n} \times_{\mathbb{Z}} S となっている。また、全射なquasi-coherent \mathscr{O}_S -module間の射 v : \mathscr{E}_1 \rightarrow \mathscr{E}_2 について

i_v : \mathrm{Grass}^e(\mathscr{E}_2) \rightarrow \mathrm{Grass}^e(\mathscr{E}_1)

が定義できる。その定義の仕方はおそらく S -scheme h : T \rightarrow S と \mathscr{U} \in \mathrm{Grass}^e(\mathscr{E}_2)(T) について i_v(T)(\mathscr{U}) := (h^* v)^{-1}(\mathscr{U}) だと思う。 (h^* v)^{-1}(\mathscr{U})(U) := (h^* v)^{-1}(\mathscr{U}(U)) としてうまくいっているはず。 v が全射だから h^* \mathscr{E}_2 / (h^* v)^{-1}(\mathscr{U}) \cong h^* \mathscr{E}_1 / \mathscr{U} がわかるのでたしかに \mathrm{Grass}^e(\mathscr{E}_2)(T) に入っている。このあとがわからない。示したいことは次の通り。

主張

(i) \mathrm{Grass}^e(\mathscr{E}) はある S -schemeによって表現可能。

(ii) 上で定めた i_v はclosed immersion。

(i)を証明するためにまず(ii)を示す。また、現状使うのは \mathscr{E} がfinite typeなときだけだからその時だけ示すこととする。だけど(ii)はその仮定なしに示せる。ここが示せない。本文には前に書いてあった主張を指してimmidiateとなっていた。全然わからんので誤植ページを参照したら使い方が書いてあったけどそのとおりにやろうとしてもなんかうまくいかない。結局ファイバー積を簡単に書き換えたいんだけどその書き換えがうまく行っていなくてその原因は i_vの定義がよくわからんただの逆像で定義しているからっぽいからそこを見直さないといけないかもしれない。でも他に適切な定義が定まるかわかっていないからとりあえず (h^* v)^{-1}(\mathscr{U})がたしかに h^* \mathscr{E}_1 の \mathscr{O}_T - submoduleになっているかを確認しようと思う。普通になってた。というか逆像から考えやすい順像にすればファイバー積が単純な形になった。だけどやっぱり参照した使い方の形まで持っていけない。証明できた。結局 \mathrm{Grass}^e(\mathscr{E}_2) に入ることを核が含まれることまで簡単にできてっと思ってこれを書いていたら別にほかの写像が取れる可能性を見つけてしまったので必要十分ではなく片方しか言えてないことに気づいた。残念。修正が効いた。どちらにせよそういう同型が存在することが分かったので単射性まで落とし込めた。具体的なことを書こうとしたけど写像の定義だけで長々とたくさん書かないといけないし雰囲気だけ書いておくことにした。まあ後から読んで自分でも何言ってるかわからなくなってそうだけど。とりあえず今日はここまで。明日はこれが表現可能であることを示す。

寝る前にアキさんと通話していた。3時くらいまで話して寝た。とりとめのないことばかり話していたけど寝落ち通話の利点として黙っていても辛くならないという点があってそれがすごい納得したのでここに書いておく。