3Q45日目 - 夏休みの日記

11/14(土)　晴れ

9時頃に一回目が覚めた気がするけどいつの間にか11時過ぎになっていた。発表の方は聞けなかった。明日も午前中にバイトが入ってしまっているので聞けない。今日の午後はゼミだけど13時からだったので結構ギリギリだったかもしれない。ご飯は食べ終わった。今日はそこまでたくさんの問題をやらなかった。一つ自分で考えてみたものの全然わからないやつがあって難しかった。抽象的なまま構成を放置してしまっているところがある。

お腹が空いたので早めに抜けた。やはり数学をやるとお腹が空く。

ご飯の前に涼宮ハルヒが読み終わったあとに読もうと思っていたコンビニ人間を読んだ。めちゃくちゃおもしろかった。すごい気持ち悪さを感じた。主人公に対しても少しあったけどそれよりも主人公に対する対応がたった一つ男と同棲したということだけで全く違うものになるのとか結婚しないものとか就職しないものを向こう側と認識してるような人の描写がものすごく怖かった。無条件で自分たちの方を多数派だと思っている人たちが怖すぎる。なんで他人にそこまで興味が持てるんだろうか。これを読んだ他の人がどういう感想を抱くのかめちゃくちゃ気になる。どちらかといえば主人公側の人間のほうが多いと思ったけどもしかして今の環境がそうなだけで実際は少数派なのだろうか。読書感想文を書かせていた国語の先生の気持ちはこういうのも少しあったんだろうか。せっかくなので人間失格の横に保管することにした。短編だし人間失格の現代的なバージョンだと思っても良いのではないだろうか。

ご飯を食べたあとは実況を見ながら数学をやった。昨日示したあとのrelative spectrumの性質についてやった。いつもどおり逆像がbase changeの形になることとかをまず示した。あとrelative spectrumを取る関手が忠実充満であることとか。

その後はこの章のメインであるvector bundleを定義した。定義はscheme $X$ とその上のquasi-coherent $\mathscr{O}_X$ -module $\mathscr{E}$ について

$\mathbb{V}(\mathscr{E}) := \mathrm{Spec}(\mathrm{Sym}(\mathscr{E}))$

と定義される。局所自明性とかは特殊な条件下じゃないとだめそう。例えばlocally freeとか。とりあえずこれが反変関手になっていることとかやっぱり逆像がbase changeになってることとか示した。あとこれはrelative spectrumよりも特殊な感じの表現可能艦首になっている。次の通り。

主張

任意の $X$ -scheme $h \colon T \rightarrow X$ について

$\mathrm{Hom}_X(T,\mathbb{V}(\mathscr{E})) = \Gamma(T , (h^* \mathscr{E})^*)$

が成り立つ。ただし最後の記号は双対。

これはそこまで大変じゃない。今まで出てきた同型を使うだけ。

このときとくに恒等写像を取って $\Gamma(X , \mathscr{E}^*)$ の零元に対応する $X$ -schemeの射 $z \colon X \rightarrow \mathbb{V}(\mathscr{E})$ が取れる。affine open上で考えるとこれは $\mathrm{Sym}(M) \rightarrow A$ で $M$ の元はすべて0に飛ばすようなものに対応する射になっている。このことからこれは $\mathbb{V}(\mathscr{E})$ の構造射 $f \colon \mathbb{V}(\mathscr{E}) \rightarrow X$ に対する切断になっている。これをzero sectionという。

また、特に $\mathscr{E} = (\mathscr{O}_X^n)^*$ を取る。このとき双対がはずせることとか考えると $\mathbb{V}(\mathscr{E}) = \mathbb{A}^n_X$ となることも分かる。自明なvector bundleって感じ。ということは局所的にこれになるlocally freeについてはやっぱり局所自明性的なのが成り立っているっぽい気がしてきた。このときのzero sectionは $\mathscr{O}_X [ T_1 , \ldots , T_n ] \rightarrow \mathscr{O}_X$ で各変数を0に飛ばすような射になっている。それとか考えると幾何学的には $x \in X$ のzero sectionによる像は構造射 $\mathbb{V}(\mathscr{E}) = \mathbb{A}^n_X \rightarrow X$ におけるfiber $\mathbb{A}^n_{\kappa(x)}$ に入っている。特にaffine openなところで考えれば $\kappa(x) [ T_1 , \ldots , T_n ]$ の零イデアルに対応する。まあつまり構造射のファイバーの中でうまいことになってるらしい。ここらへんはもう少し考えないとよくわからない。次はlocally freeに対してvector bundleを考える。明日本格的にやることとして今日は眺めるだけとする。明日は早いので今日はここまで。