夏休み51日目 - 夏休みの日記

9/26(土)　晴れ

12時前くらいに起きてお昼ごはんの前にリングフィットをやった。腕がつかれた。ご飯をゆっくり食べてたらゼミの時間になったので赴く。自分がハーツホーンの第一章4節を詳しく読めてないこともあって第二章1節をやることになった。層の色々。エタール空間のところを初めて真面目にやったけど層化がそこそこわかりやすい形になった。詳しく見てるとほとんど違いがないことが終わってからわかってきた。

ゼミが終わったら加藤純一が謹慎していた。まあ別に面白い実況をし続けてくれればいいので戻ってくるのを待つ。数学やってる最中の作業BGM代わりに使っていたから誰か他の長時間配信者を探さなければならない。過去の配信でもいいけどそれだとどうしても集中して見てしまうので作業用に向かないのが難点。

その後は昨日頭が回ってなかったところを射の確認とかをしつつゆっくりやった。示せたのは次の通り。

finite locally free $\mathscr{O}_S$ -moduleの間の全射 $q : \mathscr{E} \rightarrow \mathscr{F}$ から誘導されるclosed immersion

$\pi_q : \mathbb{P}(\mathscr{E}) \setminus \mathbb{P}(\mathscr{F}) \rightarrow \mathbb{P}(\mathscr{G})$

を考える。ただし $\mathscr{G}$ は $q$ の核。同様にもう一つのfinite locally freeの間の全射 $\mathscr{F} \rightarrow \mathscr{F}'$ との合成 $q' : \mathscr{E} \rightarrow \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{F}'$ とその核 $\mathscr{G}'$ について $q'' : \mathscr{G'} \rightarrow \mathscr{G}' / \mathscr{G}$ をとる。このときsubbundleを自然にその同型と同一視すると

$\pi_{q'}^{-1}(\mathbb{P}(\mathscr{G}' \setminus \mathscr{G})) = \mathbb{P}(\mathscr{F}) \setminus \mathbb{P}(\mathscr{F}')$

が $\mathbb{P}(\mathscr{E}) \setminus \mathbb{P}(\mathscr{F}')$ 内で成り立っている。より正確に書くと層の間の射から誘導されるprojective bundleにおけるclosed immersionを $i_q$ などとするとき、 $\mathbb{P}(\mathscr{E}) \setminus \mathbb{P}(\mathscr{F}')$ 内で

$\pi_{q'}^{-1}(i_{q''}(\mathbb{P}(\mathscr{G}' \setminus \mathscr{G}))) = i_q(\mathbb{P}(\mathscr{F}) \setminus \mathbb{P}(\mathscr{F}'))$

となっている。これを使うと $\pi_q = \pi_{q''} \circ \pi_{q' \mid \mathbb{P}(\mathscr{E}) \setminus \mathbb{P}(\mathscr{F})}$ と分解することが出来る。だからなんだというのはわからないけど幾何学的な意味が後々でてくるとのことなのでしっかりやっておいた。

その後のSegre embeddingを改めてprojective bundleとして扱って一般化するやつをやった。射は作れたけどそれがもとのSegre embeddingと定義が一致するかどうかのところの計算がうまくいかないので明日に回す。夏休みも終わりが見えてきた。今日はここで日記はおしまい。