3Q11日目

10/11(日)　曇り

11時ごろ起きた。寝不足が解消された気がする。今日は午後にバイトを入れていたのでそれまで数学とかする。そのまえにTOEFLの長文の問題を一個解いた。なんとかなりそうななんとかならなそうな感じでよくわからん。明日は文法のやつを全部終わらせる予定。教養卒論のもとりあえずお題は置いておいてチャート的なやつは作りたい。

うまく証明が回らない。reductionを取ったあとでseparatedならもとでもseparatedを言いたいんだけどなんか微妙。仕方がないので涼宮ハルヒの続きを読む。3冊目が読み終わった。4冊目の消失が面白いというのが一巻目のあとがきに書いてあったけどここまでもそれなりに面白かったので期待値が上がる。バイトから帰ってきてからまたseparatedについて考えているけどどうも上手くまとまらない。

まとまった。次の通り。

i : X_{\mathrm{red}} \rightarrow X と f : X \rightarrow S について \Delta_f \circ i = (i \times i)_{\mathrm{red}} \circ \Delta_{f_{\mathrm{red}}}が成り立つ。もし f_{\mathrm{red}} がseparatedだとすると \Delta_f \circ i と (\Delta_f)_{\mathrm{red}} がclosed immersionになる。２つ目がclosed immersionになることは上の式の等号を示すときにでてきた式とあとに書くことを使えばわかる。像が閉集合でそれと同相になっていることは \Delta_f \circ i がclosed immersionよりわかる。また、reductionで取れる射と (\Delta_f)_{\mathrm{red}} がclosed immersionでとくにseparatedであることをつかえばまた後述するやつをつかって \Delta_f がclosed immersionであることがわかる。

次をよく使う。

性質Pが任意のimmersion(closed immersion)が持ち、base changeと合成で保たれるものとする。このとき、 f : X \rightarrow Y が u : X \rightarrow S と v : Y \rightarrow S についてS-morphismであるとする。もし u が性質Pを持つ(かつ v がseparated)なら f は性質Pを持つ。

次と f が等しいことを考えればすぐわかる。

X \xrightarrow{\Gamma_f} X \times_S Y \rightarrow Y

ここで \Gamma_f は f によるgraph。とくに v がseparatedであるときこれはclosed immersion。これが使いやすい。性質について簡単にわかるけどよく考えたら仮定を満たすかどうかを確認するのが大変なのかもしれない。

とりあえず一つ証明できたので気分がいい。そういえばハーツホーンをやっと購入した。洋書版。持ってないととても不便なことに気づいたしちょうどいいタイミングでいい値段のものを見つけたので買った。到着がたのしみ。今日の日記はここまで。