3Q36日目

11/5(木)　曇り

9時位に起きた。教養卒論なので準備をする。ビデオつけるときはなるべく暗くないところに移動する必要があってそのために日が当たらない側の部屋に行くことになる。従って日差しも入ってこなく寒い部屋で授業を受ける羽目になった。なんか今日は特に寒い。また指先が悴むあの季節が来るのか。まだ秋なのに。今日は引用について習ったのでそれで修正して提出して午前中は終わり。函数解析の課題もやった。数列空間の双対性のやつだけど元がしっかり定義域に入ってるかどうかについてなんかヒントになるものはないかと思って探していたらそれっぽいのがあったのでわかりやすい形に直して解答した。

午後は涼宮ハルヒの続きを読んだり数学をしたりしてバイトまで過ごした。ハルヒも残すところあと2冊となってしまった。続編はあるらしいけどどうにも新作というよりかは今まで文庫本になっていなかったやつを集めた感じらしい。数学の方はとりあえずやろうと思っていた10章途中のところまで目を通した。バイトに行く前に途中で終わってバイトのときにちょっとづつ考えていたらいい感じに疑問が解けて理解できた。帰ってきてからご飯を食べて紙に起こしたら想定していたのとそのまんまというわけではないけどまあそうなるかという形になった。多項式の取り扱いがめんどくさかったので自分で斉次化して考えたの我ながら上手いことやったなという感じ。示したのは主に次のやつ。局所的なデータから少し広げたデータまで拡張ができる。前期の代数学の演習で話していた局所的なことを考えることとその少し周りまで考えることが同値みたいな気持ちになった。

主張

S-scheme X と Yをとる。 s \in S とそれに移る x \in X と ty \in Y をとる。このとき次が成り立つ。

(1) S-morphism f,f' \colon X \rightarrow Y から誘導される \mathscr{O}_{Y,f(x)} \rightarrow \mathscr{O}_{X,x} が等しく、 Y が f(x) で S 上locally of finite typeのとき、ある x の開近傍が存在してその上で f と f'は等しい。

(2) Y が yで S 上locally of finite presentationであり、局所準同型 \varphi_x \colon \mathscr{O}_{Y,y} \rightarrow \mathscr{O}_{X,x} があったとき、ある x の開近傍 U \subset X とその上の S -morphism f \colon U \rightarrow Y が存在して f(x) = yかつ f^\sharp_x = \varphi_x となる。

(3) (2)に X が xで S上 locally of finite typeであるという条件が加わったとき、(2)で取れる f はfinite typeになる。

(4) (2)に X が x で S 上locally of finite presentationであり、 \varphi_xが同型写像であるという条件が加わったとき、(2)で取れる f は同型射になる。

全部局所的な話なのでaffine schemeで話をすれば良い。 X = \mathrm{Spec}(B), Y = \mathrm{Spec}(A), S = \mathrm{Spec}(R)とし、 x = \mathfrak{q} \in X, y = \mathfrak{p} \in Yとおく。(1)は A の R上の生成系を取ってその像が局所的に一致してるから適切に分母を揃えれば基本開集合上で一致する。(2)は有限生成イデアルの剰余で表してそこからしっかり射になるように一つの元による局所化への射を作る。有限生成であることは分母をいっぺんに揃えられるように、局所準同型であることは x の像が y になっているようにしている。このとき分母とかの扱いが難しかったから変数を一つ増やして斉次化した。これでかなりやりやすくなった。(3)は B の局所化も R 上有限生成になり、locally of finite typeはimmersionが全部持つこととaffine scheme間の射はqcqsであるから良い。(4)は X についても(2)を適用させ、そこから得られるscheme間の射が局所的に恒等写像に一致していることと(1)からわかる。

とりあえずまえがきには10章を最初に読むときに必要な部分まで読み切ったので次は11章に移る。divisorとかをメインで取り扱うvector bundleの章らしい。楽しみ。1時が近いので日記はおしまい。明日は一日ずっと授業で体力を使うので英気を養う。