3Q(2021)35日目

11/4(木)　晴れ

10時に起きた。9時だったかも。昨日の分の疲れは解消できた気がする。午前中はなんか新しく始まっているらしいapexのシーズンを遊んだ。新しいマップが出ていた。

午後はperfectivoidの続きをやろうかと思ったけどなんか普通に楽しくなくなってきてしまったので何しようかなとくねくねしていた。色々読みたいものはあるんだけどなんかなかなか手が出ない。一つは加群層についてのやつだけどなんかそれも気が乗らず、そんな事考えてたら授業の時間になってしまったので授業を受けた。でも全然わからなかった。もう追いつけてないと思う。

ひとまず授業を終えてからこのままじゃ埒が明かないと思って一つ読むのを決めた。というか飽きたら他のを読んで、またそれに飽きたら戻ってくるという計画だったから、ちょうどその飽きのタイミングが来たのかもしれない。ということでdiamondについての論文を読むことにした。まずはpro-etaleについて考えるためにtotally disconnected spaceについてやった。通常の位相空間のそれとは異なり、qcqsかつ開被覆がsplitするという条件を課してやっている。そこでspectral spaceの場合にそのsplitに関する同値性を示すことになった。これが少し難しくてバイトを挟んで今まで考えていた。

まずひとつは解決して連結成分が唯一つの閉点を持つことを示した。ここでsectionが取れることがよくわかって無くて、多分今の場合はsectionと言ったら暗に連続性を課しているのだと思う。そうじゃなかったら全然証明が回ってないし。今度はその逆で連結成分が唯一つの閉点を持つならsplitすることを示したくて、そのために色々やっている操作がよくわかってない。まずひとつは開集合が閉点を含んでるならそれに対応する連結成分全体を含むことなんだけどこれはspectral spaceの性質を使って既約成分とかとることで解決した。連結成分が唯一というのは局所環のスペクトラムということだし生成点を見ることでうまく行った。そのあとにいい感じの開かつ閉な近傍を取ってそれが連結成分からなる集合に位相を入れたものの開被覆になるらしい。しかもそのあとの英語がよくわかってない気がする。その逆像の上にsplitするという言葉の意味がわからん。まずは開被覆になることを示そうと思っていて、その位相は商位相だからそれで考えているんだけどうまく行かない。なんか位相環の議論に慣れ過ぎちゃって変なことしかけた。

各連結成分の閉点に対してある開被覆の開集合が取れてその中に開かつ閉な近傍が取れている。その近傍から自然に連結成分からなる集合上への開被覆が取れるらしい。被覆になっていることは良い。open coverとcoverを区別してるらしいことに気づいた。いやでも開かつ閉なcoverと言っている。

解決した。結局異なる連結成分に入る可能性はあるけど開かつ閉なやつと共通部分を持った時点でその連結成分は全部含まれるから等号が成り立つ。あとはそれがsplitすることを考えるけどこういうのは少し残しておくと良いというのを思い出したから今日はここまでにする。

明日はこの被覆の逆像、つまり開かつ閉なやつだけどそこでsplitするという意味をちゃんと考えることにする。今日の日記はここまで。