修士一年2Q59日目

8/8(月)　晴れ

8時過ぎに起きた。昨日何故か尾てい骨がちょっと痛くなってたので早めに寝たら早く起きた。とは言っても授業はもう終わっているから夕方のバイトの時間まで数学をした。一つ、昨日わかってなかったところが割りと起きてすぐに分かった。よく考えたらそれはそうな主張で、Noether加群になるからその部分加群が有限生成であるというだけだった。しかもよくよくstacks projectを見たら全部書いてあった。しかもなんか色々移動して調べてたやつもNagata ringの章を読んだらちゃんと書いてあった。

それで大丈夫だと思ってたら一箇所n-root closed性が必要だということに気づいた。そこがどうにもうまくいかない。というかN-2とかの条件からそういう性質が出るのかどうか割りと怪しい気がしてきた。それでバイトの時までずっと考えてた。でもやっぱり駄目だった。色々論文を見てみたけどn-root closedを仮定した上で話しを進めていたり完備化の中でのclosureを取っているだけだったりした。でもその完備化の中の話にN-2性が出てきていたので一応関係があるのかもしれない。証明を読んでみても何故か自明なことしかやってなくて何が効いてるのかわからない。

generic fomal fiberがgeometrically reducedである、つまり底スキーム上のファイバー積がreducedになるなら完備化の中でのp-root closureが一致していて、とくに特別な場合はgeneric formal fiberが体でseparable extensionならそれで十分geometrically reducedになるってのを使った。だけどここらへんの話は完備化の中での話だし、今はもともと完備だからあんまり嬉しくない。何が効いてるかもよくわからない。まあp-rootが取れてしまうことなんだろうけどそれを今の場合に適用できる気がしない。

明日は大学に行って考える。いくつか論文を印刷してまたぼんやりと一日考えてみる。反例が思いつくでもいいし。もし反例が思いつかなかったら結構な環がn-root closedになってしまって結構すごすぎて逆に信じられない。p-root closedと一致するなら整閉包と一致するとかいうのが一瞬頭をよぎったけどどうもdiscreteの場合はそんなうまくいっていない気がする。わからず。まあ明日に回す。また睡眠不足になりたくないし。